U.P. PGT Mathematics Syllabus
U.P. PGT Mathematics Syllabus (Hindi)
बीज गणित -
समीकरण सिद्धान्त, मूलों के सममित फलन, अंकगणितीय गुणोत्तर व हरात्मक श्रेणियां, प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों और घनों के पदों से बनी श्रेणी का योग क्रमचय और संचय, द्विपद प्रमेय, चारघातांकीय और लघुगणकीय श्रेणियों का योग, प्रायिकता योग व गुणन के सिद्धान्त ।
सारणिक -
परिभाषा, उपसारणिक व सहखण्ड 3X3 क्रम तक के सारणिक का विस्तार, कैमर के नियम से n रेखीय (n = 3 ) समीकरणों के निकाय का हल ।
आब्यूह -
अब्यूह के प्रकार, 3X3 क्रम तक के आब्यूहों का योग और गुणनफल, परिवर्त आव्यूह सममित और विषम सममित आब्यूह, आब्यूह का सहखण्डन, आब्यूह का प्रतिलोम आब्यूह की सहायता से तीन अज्ञात राशियों के चुगपत का समीकरण का हल ।
समुच्चय सिद्धान्त व संक्रियायें -
वर्ग सम नियम, साहचर्य नियम, क्रम विनिमेय नियम, वितरण नियम, सर्व समिकायें, डिमोर्गन का नियम, तुल्यता सम्बन्ध प्रतिचित्रण, प्रतिलोम प्रतिचित्रण, प्रतिचित्रणों का संयोजन, पियानों के अभिगृहीत तथा आगमन अभिगृहीत के प्रयोग I
समूह सिद्धान्त -
आंशिक समूह और समूह समाकारिता, उपसमुच्चय द्वारा जनित उपसमूह, चक्रीय समूह किसी अवयव की कोटि, चक्रीय समूह के उपसमूह, सह समुच्चय वियोजन, लैगरॉन्ज प्रमेय प्रसामान्य उपसमूह ओर विभाग समूह, समाकरता का मौलिक प्रमेय, प्रथम और द्वितीय एक के समाकारिता प्रमेय ।
रैखिक गणित -
सदिश समष्टि के उदाहरण, सदिशों का रैखिक संयोजन, रैखिक अश्रितता, रैखिक अनाश्रितता, आधार व विमा, परिमित विमीय सदिश समष्टि, उपसमष्टि, उपसमष्टि जनन, विभाग समष्टि प्रत्यक्ष योग ।
रैखिक रूपान्तरण और आव्यूह -
उदाहरण, रैखिक रूपान्तरण का बीजगणित, समाकारिता का मौलिक प्रमेय और इसके प्रयोग, ती समष्टि और द्वैती आधार, रैखिक रूपान्तरण का परिवर्त, रैखिक रूपान्तरण का आव्यूह निरूपण, आधार का परिवर्तन और इसका आव्यूह निरूपण पर प्रभाव, रैखिक रूपान्तरण की व आव्यूह की कोटि रैखिक रूपाप्तरण की शून्यता, कोटि शून्यता प्रमेय अभिलाक्षणिक मान व अभिलाक्षणिक सदिश कैली हैमिल्टन प्रमेय कैली हैमिल्टिन प्रमेय की सहायता से व्युत्क्रमणीय आब्यूह का प्रतिलोम निकालना ।
निर्देशांक ज्यामिति -
$$ax^2+2hxy+by^2=0$$ द्वारा निरूपित सरल रेखायुग्म, इन रेखाओं के बीच का कोण व अर्धकों के युग्म का समीकरण समाकोणीय कार्तीय निर्देशांकों में शांकव के मानक समीकरण व परामितीय समीकरण द्विघात व्यापक समीकरण द्वारा रेखायुग्म, वृत्त, परवलय, दीर्घवृत्त व अतिपरवलय निरूपित करने के प्रतिबन्ध मूल बिन्दू व अक्षों के स्थानान्तरण की सहायता से वृत्त, परवलय, दीर्घवृत्त व अतिपरवलय के मानक समीकरण प्राप्त करना स्पर्शी व अभिलम्बः छेदक रेख का शांकव से प्रतिच्छेदन, सीमान्त स्थिति में इसके स्पर्शी होने का प्रतिबन्ध स्पर्श करने का प्रतिबन्ध, स्पर्शियों के प्रचलिक समीकरण प्रवणता के पदो मे स्पर्शियों का समीकरण बाध्य बिन्दु से शांकव पर स्पर्शी युग्म ध्रुवीय निर्देशांकों (द्विविमीय) में शांकव के मानक समीकरण, गोले, शंकु, बेलन केन्द्रीय शांकवज व त्रिविमीय कार्तीय निदेशांको मे मानक समीकरण व इनके प्रारम्भिक गुण ।
त्रिकोणमितीय -
त्रिकोणमितीय समीकरण, त्रिभुज का हल परिगत, अन्तः एवं बाहय वृत्तों की त्रिज्यायें और गुण, ऊचांई और दूरी, प्रतिलोम वृत्तीय फलम के साधारण गुण, सम्मिश्र संख्याओं के योग और गुणनफल, मापांक कोणांक रूप हर का परिमेयीकरण डिमाइवर प्रमेय और इसका प्रयोग इकाई के मूल सम्मिश्र संख्याओं के फलन चरघाताकीय वृत्तीय हाइपरबोलिक लघुगणकीय, व्यापक चरघातांकीय, प्रतिलोम वृत्तीय व प्रतिलोम हापरबोलिक फलन- वास्तविक व अधिककल्पित भागों में पृथक्करण ।
कलन -
(अ)- अवकल गणित फलन – परिभाषा व आरेख, फलन की सीमा एक बिन्दु पर व एक अन्तराल में फलन का सातत्य संवृत अन्तराल पर सतत फलनों की सामान्य विशेषतायें। फलन का अवकलन बीजीय त्रिकोणमितीय चरघातांकीय व लघुगणीकीय फलनों का अवकलन, फलन के फलन का अवकलन, स्पर्श रेखा व अभिलम्ब एक चरराशि के फलन के उच्चिष्ठ व निम्नष्ठ ।
फलनों के अनवार्य रूप की सीमा, एल० हास्पिटल का नियम एक बिन्दु पर फलन की अवकलनीयता, संयुक्त व प्रतिलोम फलनों के अवकलन, रॉल का प्रमेय माध्यमान प्रमेय टेलर्स प्रमेय उत्तरोत्तर अवकलन, लिब्निट्ज प्रमेय, मैक्लारिन व टेलर की श्रेणियां क्रान्तिक बिन्दु आंशिक अवकलन, अनंनस्पर्शी वक्रता द्विक और वक्रों का अनुरेखण।
(ब)- समाकल गणित – खण्डशः तथा प्रतिस्थापन से समाकलन, आंशिक भिन्नों से समाकलन, निश्चित समकलन निश्चित समाकलन के प्रयोग से समतलीय वक्रों के अन्तर्गत क्षेत्रफल ज्ञात करना तथा गोले, शंकु व बेलन के आयतन व पृष्ठ ज्ञात करना, निश्चित समाकलन योग की सीमा के रूप में, परिक्रमण पिण्ड पर चाप कलन व क्षेत्रकलन।
(स)- अवकल समीकरण – अवकल समीकरण बनाना, अवकल समीकरण के प्रकार अवकल समीकरण की घात व कोटि, गुरूत्वाधीन सरल रेखीय गति के उदाहरणों में निम्नलिखित प्रकार की अवकल समीकरणों को हल करना।
(i) dy/dx=f(x)
(ii) dy / dx= f (x) (y)
(iii) dy2/dx2=f(x)
प्रथम घात व प्रथम कोटि के साधारण अवकल समीकरण अचर गुणंकों वाले रेखीय अवकल समीकरण, समघात रेखीय अवकल समीकरण, अवकल समीकरण जो प्रथम कोटि के है किन्तु प्रथम घात के नहीं है, विचित्र हल संक्षेदी प्रथम कोटि के रेखीय आंशिक अवकल समीकरणों की उत्पत्ति, Pp+Qq=h के लिये लैगरॉन्ज की विधि, दो स्वतंत्र चर राशियों के लिये लैगरान्ज विधि | प्रथम कोटि के चरगुणांको वाले अरेखीय आंशिक अवकल समीकरणों को हल करने की शारपिट की विधि Rr+S8+Tt=v प्रकार के द्वितीय कोटि के आंशिक अवकल समीकरणों को हल करने की मूंगे की विधि । विहित रूप या कैनॉनिकल रूप ।
सदिष विष्लेषण -
सदिशों के प्रकार, सदिशों के योग का त्रिभुज का नियम, दो सदिशों का संयोजन (बल, वेग, त्वरण) सदिशों का अन्तर- सापेक्ष वेग, दो सदिशों के अदिश व सदिश गुणन व इनका प्रयोग, तीन सदिशों के अदिश व सदिश गुणन व इनका प्रयोग संरेखीय तथा समतलीय सदिशों का प्रतिबन्ध, तीन चरों के बिन्दु फलनों के ग्रैडिएन्ट डाइवर्जेन्स व कर्ल, डाइवर्जेन्स व स्टोक्स के प्रमेयों का प्रयोग, तीन चरो के फलनों का अवकलन व समाकलन।
स्थिति विज्ञान -
तीन बल लगे पिण्डों का संतुलन, समतलीय बल निकाय के अन्तर्गत सन्तुलन के सामान्य प्रतिबन्ध, गुरूत्व केन्द्र, कॉमन कैटिनरी, स्थाई व अस्थाई सन्तुलन दो व तीन दिशाओं में गुरुत्व केन्द्र ज्ञात करना।
गति विज्ञान -
गुरुत्व के अधीन उर्ध्वाध्न सममतल में प्रति प्रक्षेप्य की गति, कार्य, सामर्थ्य और उर्जा, और संवेग संरक्षण, चिकने पिण्डों का सीधा संघट्ट, जड़त्व आघूर्ण और जड़त्व के गुणनफल, प्रधान अक्ष-आघूर्णी दीर्घ वृत्तज डी एलम्बर्ट का सिद्धान्त।
U.P. PGT Mathematics Syllabus (English)
Algebra -
Equation theory, symmetric functions of roots, arithmetic, geometric and harmonic series, addition, permutation and combination of series formed by the terms of squares and cubes of natural numbers, binomial theorem, addition of exponential and logarithmic series, principles of probability addition and multiplication.
Determinant -
Definition, sub-determinant and co-factor, expansion of determinant up to 3X3 order, Cramer’s Solution of a system of n linear ( n = 3) equations by the rule .
Matrix -
Types of Matrices, Sum and product of matrices upto order 3X3, symmetric and skew symmetric matrices, co-decomposition of matrices, inverse of matrices, solution of the equation of finding three unknown quantities with the help of matrix.
Set Theory and Operations -
Square sum rule, associative rule, commutative rule, distributive rule, all identities, Demorgan’s rule, equivalence relation mapping, inverse mapping, combination of mappings, uses of Piano’s axiom and induction axiom.
Group Theory -
Partial groups and group isomorphisms, subgroups generated by subsets, order of any element of a cyclic group, subgroups of a cyclic group, coset decomposition, Lagrange theorem, normal subgroups and quotient groups, fundamental theorem of isomorphism, first and second isomorphism theorems.
Linear Mathematics -
Examples of vector space, linear combination of vectors, linear dependence, linear independence, basis and dimension, finite dimensional vector space, subspace, subspace generation, division space, direct addition.
Linear Transformations and Matrices -
Examples, Algebra of linear transformations, Fundamental theorem of homomorphism and its applications, Three spaces and dual basis, Transformation of linear transformation, Matrix representation of linear transformation, Change of basis and its effect on matrix representation, Order of linear transformation and matrix, Nullity of linear transformation, Order nullity theorem, Characteristic value and Characteristic vector, Cayley-Hamilton theorem, Finding the inverse of invertible matrix with the help of Cayley-Hamilton theorem.
Coordinate Geometry -
Pair of straight lines represented by ax^2+2hxy+by^2=0, the angle between these lines and the equation of pair of bisectors. Standard equations of a conic in rectangular Cartesian coordinates and parametric equations. Constraints on representing pair of lines, circle, parabola, ellipse and hyperbola by quadratic general equations. Obtaining standard equations of circle, parabola, ellipse and hyperbola with the help of transposition of origin and axes. Tangent and Normal: Intersection of secant line with a conic, condition on it being tangent at limit position, condition on touching, parabolic equations of tangents in terms of gradient. Pair of tangents to a conic from bounded point. Standard equations of a conic in polar coordinates (two dimensional), sphere, cone, cylinder. Standard equations in central conicoid and three dimensional Cartesian coordinates and their initial properties.
Trigonometric -
Trigonometric equations, solution of a triangle, radii and properties of inner and outer circles, height and distance, simple properties of inverse circular functions, addition and product of complex numbers, modulus and argument form, rationalization of denominator, Dimitar’s theorem and its applications, functions of complex numbers, exponential, circular, hyperbolic, logarithmic, general exponential , inverse circular and inverse hyperbolic functions- separation into real and imaginary parts.
Calculus -
(A) – Differential mathematical functions – Definition and diagram, limit of a function at a point and in an interval, continuity of a function on a closed interval, general characteristics of continuous functions. Differentiation of algebraic, trigonometric functions, differentiation of exponential and logarithmic functions, differentiation of a function of a function, tangent and normal, maximum and minimum of a function of one quantity.
Limit of essential form of functions, L. Hospital’s law, differentiability of function at a point, differentiation of composite and inverse functions, Rolle’s theorem, mean value theorem, Taylor’s theorem, successive differentiation, Leibniz theorem, Maclarin and Taylor’s categories, critical point, partial differential , asymptotic curvature. Duals and tracing of curves.
(B) Integral Calculus – Integration by parts and substitution, integration by partial fractions, definite integral, finding the area under planar curves using definite integral and finding the volume and surface area of sphere, cone and cylinder, definite integral as limit of sum, arc calculus and quadrature on a revolving body.
(C) – Differential Equations – Formation of differential equations, types of differential equations, degree and order of differential equations, solving the following types of differential equations in the examples of rectilinear motion under gravity.
(i) dy/dx=f(x)
(ii)dy / dx= f (x) (y)
(iii)dy2/dx2=f(x)
Ordinary differential equations of first degree and first order, Linear differential equations with constant coefficients, Homogeneous linear differential equations, Differential equations which are of first order but not of first degree , Strange solutions of linear partial differential equations of first order having constant coefficients, Lagrange’s method for Pp+Qq=h , Lagrange’s method for two independent variables . Sharpit’s method for solving non-linear partial differential equations with variable coefficients of first order, Coral’s method for solving second order partial differential equations of the type Rr+Ss+Tt=v. Canonical form.
Dimensional Analysis -
Types of vectors, triangle law of addition of vectors, combination of two vectors (force , velocity , acceleration), difference of vectors – relative velocity, scalar and vector product of two vectors and their uses, scalar and vector product of three vectors and their uses, condition of collinear and coplanar vectors, gradient, divergence and curl of point functions of three variables, use of divergence and Stokes’ theorems, differentiation and integration of functions of three variables.
Statics -
Equilibrium of bodies subjected to three forces, general conditions of equilibrium under a planar system of forces, centre of gravity, common catenary, permanent and temporary equilibrium, finding the centre of gravity in two and three directions.
Kinematics -
Motion of a projectile in a vertical plane under gravity, work, power and energy, and conservation of momentum, direct collision of smooth bodies, moment of inertia and product of inertia, principal axisymmetric elliptical bodies, D’Alembert’s principle.